Геометрична прогресія


Геометрична прогресія — послідовність чисел, перший член якої не дорівнює нулю, а відношення будь-якого елемента послідовності до попереднього є сталим числом, що називається знаменником прогресії. Знаменник прогресії не дорівнює 1 (одиниці) Якщо модуль знаменника прогресії більше одиниці — прогресія зростаюча, якщо він менше одиниці — прогресія спадна. У випадку коли знаменник прогресії менше нуля — прогресія знакозмінна.

Значення n-ного члена

Знайдемо суму перших n членів геометричної прогресії
s_n = a(r^0+r^1+r^2+r^3+...+r^{n-1})\,
Помножимо та поділимо праву частину на (r-1)\, (r не може бути 1), добуток (1+r+r^2+r^3+...+r^{n-1})\, на (r-1)\, дає (r^n-1)\,, оскільки решта елементів взаємно знищуються, звідси отримаємо:
s_n = a\sum_{k=0}^{n-1} r^k=a\frac{r^{n}-1}{r-1}
Якщо \left| r \right|<1, то a_n \to 0, тоді:
S_n \to {a_0 \over 1-r} при n \to \infty

Властивості


Геометрична прогресія має цікаву властивість:
a(r^0+r^1+r^2+r^3+r^4+r^5+r^6+r^7+r^8+...) = a(r^0+r^1+r^2)(r^0+r^3+r^6+...)\,
Наприклад, (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + 256 +…) можна записати як (1 + 2 + 4)(1 + 8 + 64 +…) m

Практичне застосування


Формула для суми геометричної прогресії також зручна для обрахунку відсотків по банківських вкладах. Припустимо, Ви кладете $2,000 в банк під 5 % річних. Скільки грошей Ви матимете на рахунку через 6 років?
2,000 · 1.056 = 2680.19
Геометрична прогресія лежить на основі побудови рядів переважних чисел.

Немає коментарів:

Дописати коментар

Підписатися на: Дописи (Atom)