Арифметична і геометрична прогресія: Арифметична прогресія

Арифмети́чна прогре́сія це послідовність дійсних чисел виду

a_1,\ a_1+d,\ a_1+2d,\ \ldots,\ a_1+(n-1)d,\ \ldots

де $a_1$ — це перший член прогресії, $d$ — це фіксована різниця між попереднім та наступним.
Формула для знаходження $n$ -го члена прогресії:

a_n=a_1 + (n-1)d, \quad \forall n \geqslant 1

Для усіх членів прогресії, починаючи з другого, справедлива рівність:

a_n=a_{n-1} + d \quad

Сума $n$ перших членів арифметичної прогресії може бути виражена такими формулами:

S_n=\sum_{i=1}^n a_i ={a_1+a_n \over 2}n={2a_1 + d(n-1) \over 2}n

Сума $n$ послідовних членів арифметичної прогресії починаючи з члена $k$ :

S_n={a_k+a_{k+n-1} \over 2}n

;

Сума перших $n$ натуральних чисел:

1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n+1)}{2}

Ця формула відома як трикутне число.

Існує історія про те, як Карл Ґаус відкрив цю формулу, коли навчався у третьому класі. Щоб по-довше зайняти дітей, вчитель попросив клас порахувати суму перших ста чисел — 1+2+...+99+100. Ґаус помітив, що попарні суми з протилежних кінців однакові: 1 + 100 = 101, 2 + 99 = 101 і т. д., і тому зміг відразу відповісти, що сума дорівнює 5050. Дійсно, легко бачити, що рішення зводиться до формули

\frac{n(n+1)}{2}

, тобто до формули суми перших n чисел натурального ряду.

Також арифметична прогресія відноситься до такого розділу з математики, як комбінаторика. Узагальненням арифметичної прогресії є рекурентне співвідношення.

Арифметична і геометрична прогресія

Сторінки

Арифметична прогресія

Немає коментарів:

Дописати коментар