Застосування прогресій

• Найдавнішою відомою задачею на використання прогресії вважається задача про поділ хліба з так званого папірусу Рінда.

Звучить вона приблизно таким чином: 100 мір хліба потрібно розділити між пятьма чоловіками таким чином, щоб другий отримав на стільки ж більше ніж перший, на скільки третій отримав більше другого, четвертий більше третього і п'ятий більше четвертого. Крім того, двоє перших мають отримати в 7 разів меньше трьох інших. Скількі потрібно дати кожному?

• Мал. з книги Перельмана

Очевидно, що кількість хліба, отриманого чоловіками, являє собою зростаючу арифметичну прогресію. Де перший її член х, а різниця y. Тоді отримаємо:

доля першого х, доля другого х + у, доля третього х + 2y,
доля четвертого х + 3y, доля п'ятого х + 4y. отримаємо систему рівнянь і після її розв'язування отримаємо відповідь.

• Ось іще одна дуже відома задача з того ж папірусу:

«У семи людей по сім кицьок; кожна кицька з'їдає по сім мишей, кожна миша з'їдає по сім колосків, з кожного колоска може вирости по сім мір ячменю. Наскільки великі числа цього ряду та їх сума?»

Ця ж задача багато разів з різними варіаціями повторювалась і у інших народів в інші часи. Наприклад, у книзі XIII ст. «Книга абакa» Леонардо Пізанського(Фібоначчи) є задача, в якій фігурують 7 старух, що направились до Риму (імовірно, паломниць), у кожної з яких 7 мулів, на кожному з яких по 7 мішків, і в кожному з яких по 7 хлібів, в кожному з яких по 7 ножів, і кожен з яких в 7 ножнах. В задачі питають, скільки всього предметів.
Дослідники стверджують, давні вавілоняни також добре були знайомі з обома прогресіями.

Безумовно найвідомішою із старовинних задач на прогресії безумовно є легенда про винайдення шахів.Астрономічна яку згідно домовленості мали видати у нагороду старцю просто приголомшує Ця задача яскраво представляє характер геометричної послідовності.
Наступний вчений, що вніс величезний вклад у вчення про прогресії є Архімед. В творі Квадратура параболи Архімед довів, що площа сегмента параболи, що відскається від неї прямою, складає 4/3 від площи вписаного в цей сегмент трикутника. Для доведення Архімед підрахував сумму нескінченної геометричної прогресії зі знаменником 1/4.